Sergio Gómez, profesor de la Escuela de Matemática del Departamento de Matemática Aplicada, realizó sus estudios de Maestría en la Universidad de Puerto Rico. Su trabajo de tesis “Aplicación del método Local Discontinuous Galerkin a ecuaciones con derivadas fraccionarias”. La cual fue realizado bajo la supervisión del Ph.D. Paul Castillo Scientific Computation, durante los 2 años de su estadía, logro publicar en varias revistas de prestigio internacional; 2 de ellas de clasificación Q1 (más alta clasificación según SCIMAGO) y 2 de clasificación Q2.

A continuación, un breve resumen de las investigaciones realizadas:

Diversos fenómenos físicos son modelados por medio de ecuaciones diferenciales. Sin embargo; experimentos físicos han mostrado que modelos que involucran derivadas fraccionarias pueden ser más precisos que los modelos clásicos. En las últimas décadas, el uso de operadores fraccionarios se ha convertido en una herramienta teórica importante para describir una gran variedad de fenómenos. Por otro lado, encontrar soluciones exactas para estos problemas se vuelve sumamente difícil o incluso imposible, por ello el uso de métodos numéricos para la solución de estos problemas se ha vuelto esencial.

Nuestra investigación se ha enfocado en la aplicación del método de elemento finito discontinuo "Local Discontinuous Galerkin" a ecuaciones con derivadas fraccionarias. En especial hay dos puntos focales en nuestra investigación:

Las propiedades intrínsecas del método numérico. Sus ventajas frente a otros métodos, y algunos aspectos computacionales importantes.

La conservación numérica de aquellas cantidades que físicamente son preservadas. Este punto es de sumo interés actualmente, pues no solamente se

desea realizar simulaciones de los fenómenos físicos; sino que además se desea que estas simulaciones reproduzcan las propiedades físicas que posee.

Por ejemplo, una ecuación de gran importancia es la ecuación de Schrödinger, la cual es la ecuación fundamental que describe la mecánica cuántica. Uno de nuestros trabajos fue la aplicación del método Local Discontinuous Galerkin a su extensión, propuesta por Laskin en el año 2000, la ecuación fraccionaria no lineal de Schrödinger; en este trabajo se mostró que una característica sumamente importante del método para asegurar la conservación de los invariantes físicos de esta ecuación, es la simetría de la matriz que representa el operador fraccionario de Riesz.

A continuación, se incluye las publicaciones, producto de sus investigaciones:

Revistas Internacionales

1. Conservative Local Discontinuous Galerkin method for the fractional 
Klein-Gordon-Schrödinger system with generalized Yukawa interaction
P. Castillo and S. Gomez
Journal of Numerical Algorithms, Springer (2019)

2. Optimal stabilization and time step constraints for the forward Euler-Local 
Discontinuous Galerkin method applied to fractional diffusion equations.
P. Castillo and S. Gomez
Journal of Computational Physics, Elsevier (2019)

3. On the Conservation of Fractional Nonlinear Schrödinger Equation’s Invariants by the Local Discontinuous Galerkin Method
P. Castillo and S. Gomez
Journal of Scientific Computing, Springer  (2019)

4. Improving the accuracy of LDG approximations on coarse meshes
P. Castillo, S. Gomez, and S. Manzanarez
Mathematics and Computer Simulation, Elsevier (2019)

Revistas Latinoamericanas

5. Análisis de Von  Neumann para el método Local Discontinuous Galerkin en 1D
P. Castillo and S. Gomez
Revista Integración (2019) (Colombia)

6. Conservación de invariantes de la ecuación de Schrödinger no lineal por el 
método LDG
P. Castillo and S. Gomez
Revista Mexicana de Fisica (2018) (Mexico)

7. Eficiencia del método LDG para aproximar la solución de los problemas de 
Bratu y de Troesch
P. Castillo and S. Gomez
Revista de La Escuela de Fisica, UNAH (2017) (Honduras